Generator Zadań Maturalnych: Matura z Matematyki CKE Online

• Krok 1: Zastosuj definicję logarytmu do pierwszego składnika: 2⁵ = 32, zatem log₂(32) = 5.
• Krok 2: Przedstaw pierwiastek jako potęgę o wykładniku wymiernym: √2 = 2^(1/2). Z definicji log₂(2^(1/2)) = 1/2 = 0,5.
• Krok 3: Alternatywnie użyj wzoru na różnicę logarytmów: log₂(32 / √2) = log₂(16√2) = log₂(2^(4,5)) = 4,5.
• Krok 4: Odejmij otrzymane wartości: 5 - 0,5 = 4,5.

Wskazówka egzaminacyjna: Różnicę logarytmów o tej samej podstawie można obliczyć bezpośrednio z definicji logarytmu lub przekształcając do ilorazu liczb logarytmowanych.

• Krok 1: Zauważ, że funkcja podana jest w postaci kanonicznej f(x) = a(x - p)² + q, gdzie a = -2, p = 3, q = 8.
• Krok 2: Ponieważ współczynnik kierunkowy a = -2 < 0, ramiona paraboli skierowane są do dołu.
• Krok 3: Wierzchołek paraboli W = (p, q) = (3, 8) stanowi globalne maksimum funkcji kwadratowej.
• Krok 4: Największa wartość funkcji jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka, czyli q = 8 (dla argumentu x = 3).

Wskazówka egzaminacyjna: Postać kanoniczna pozwala odczytać współrzędne wierzchołka paraboli (p, q) bezpośrednio ze wzoru bez konieczności liczenia wyróżnika delta.

• Krok 1: Iloczyn wyrażeń jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem: x² - 9 = 0 lub x + 4 = 0.
• Krok 2: Rozwiąż pierwsze równanie za pomocą wzoru skróconego mnożenia: (x - 3)(x + 3) = 0, co daje dwa rozwiązania x = 3 oraz x = -3.
• Krok 3: Rozwiąż drugie równanie: x + 4 = 0, co daje x = -4.
• Krok 4: Zlicz unikalne rozwiązania rzeczywiste: x ∈ {-4, -3, 3}. Równanie posiada dokładnie 3 rozwiązania.

Wskazówka egzaminacyjna: Iloczynowa postać wielomianu pozwala rozbić zagadnienie na elementarne równania liniowe i kwadratowe.

• Krok 1: Zastosuj relację między wyrazami ciągu arytmetycznego: a₇ = a₃ + (7 - 3)r = a₃ + 4r.
• Krok 2: Podstaw znane wartości liczbowe do równania: 27 = 11 + 4r.
• Krok 3: Przekształć równanie liniowe: 4r = 27 - 11 = 16.
• Krok 4: Podziel obie strony przez 4: r = 16 / 4 = 4.

Wskazówka egzaminacyjna: W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy r. Różnica n-tego i k-tego wyrazu wynosi (n - k) · r.

• Krok 1: Zastosuj własność trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego: x² = a₁ · a₃.
• Krok 2: Podstaw wartości brzegowe: x² = 2 · 18 = 36.
• Krok 3: Rozwiąż równanie kwadratowe: x = 6 lub x = -6.
• Krok 4: Zgodnie z warunkiem zadania wyrazy są dodatnie, zatem x = 6.

Wskazówka egzaminacyjna: Środkowy wyraz trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich pod warunkiem zgodności znaków.

• Krok 1: Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej: sin²(α) + cos²(α) = 1.
• Krok 2: Podstaw wartość sinusa: (3/5)² + cos²(α) = 1 → 9/25 + cos²(α) = 1.
• Krok 3: Oblicz cos²(α) = 1 - 9/25 = 16/25.
• Krok 4: Ponieważ kąt α jest ostry (I ćwiartka), funkcja cosinus przyjmuje wartość dodatnią: cos(α) = √(16/25) = 4/5.

Wskazówka egzaminacyjna: Jedynka trygonometryczna pozwala jednoznacznie wyznaczyć wartość cosinusa kąta ostrego znając wartość jego sinusa.

• Krok 1: Oblicz długość przeciwprostokątnej c z twierdzenia Pitagorasa: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 cm.
• Krok 2: Zastosuj twierdzenie o okręgu opisanym na trójkącie prostokątnym: środek okręgu leży w połowie przeciwprostokątnej.
• Krok 3: Promień okręgu opisanego R jest równy połowie przeciwprostokątnej: R = c / 2.
• Krok 4: Oblicz promień: R = 10 / 2 = 5 cm.

Wskazówka egzaminacyjna: Przeciwprostokątna każdego trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.

• Krok 1: Określ moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych w dwukrotnym rzucie kostką: |Ω| = 6 · 6 = 36.
• Krok 2: Wypisz pary oczek sumujące się do 5: A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}.
• Krok 3: Zlicz liczbę zdarzeń sprzyjających: |A| = 4.
• Krok 4: Zastosuj klasyczną definicję prawdopodobieństwa: P(A) = |A| / |Ω| = 4 / 36 = 1 / 9.

Wskazówka egzaminacyjna: Klasyczny model Laplace'a zakłada jednakowe prawdopodobieństwo każdego z 36 możliwych wyników rzutu dwiema kostkami.